Wiskundehulp
NLEN

vmbo gthavovwo

Eenheidscirkel en sinusoïde

Na deze simulatie kun je uitleggen waarom cos α en sin α de coördinaten van een punt op de eenheidscirkel zijn, en wat a, b en d doen in y = d + a · sin(b · x).

Niveau
Modus
Eenheidscirkel met α = 60° en de grafiek y = 0,0 + 1,0 · sin(1,0x) Links een cirkel met straal 1 en een punt P bij hoek α; de horizontale stip is cos α, de verticale sin α. Rechts de grafiek van y = sin x en jouw sinusoïde voor hoeken van 0° tot 360°. 90° 180° 270° 360° cos α = 0,50 sin α = 0,87 stippel: y = sin x · doorgetrokken: jouw sinusoïde
y=d+a·sin(bx)

Start: α = 60°, a = 1, b = 1 en d = 0. Dan is P = (0,5; 0,87) en de periode 360°.

Hoek α (graden)
Amplitude a
b
Evenwichtsstand d
Wat zie je? α = 60°: P = (0,50; 0,87), dus cos α = 0,50 (x) en sin α = 0,87 (y).

Uitleg

De eenheidscirkel is een cirkel met straal 1 om de oorsprong. Draai je een punt P over een hoek α vanaf de positieve x-as, dan is de x-coördinaat van P gelijk aan cos α en de y-coördinaat gelijk aan sin α. Zo krijgen sinus en cosinus ook betekenis voor hoeken groter dan 90°, waar geen rechthoekige driehoek meer past.

Laat P rondgaan en kijk naar de stippellijn: die neemt de hoogte van P mee naar de grafiek rechts. De hoogte bij elke hoek samen geeft de grafiek van y = sin x, een golf met periode 360°. Bij 30° is sin(30°) = 0,5; bij 150° ligt P links van de y-as, maar nog boven de x-as: cos(150°) = −0,87 en sin(150°) = 0,5.

Amplitude, periode en evenwichtsstand

In y = d + a · sin(b · x) is a de amplitude: hoe ver de golf boven en onder het midden komt. d is de evenwichtsstand: het midden van de golf. b bepaalt de periode: 360° ÷ b. Een grotere b maakt de golf dus smaller, niet breder. Het hoogste punt is d + a en het laagste d − a.

Voorbeelden per niveau

  • vmbo gt: bij y = 2 · sin(x) is de amplitude 2. De golf gaat tussen −2 en 2 heen en weer, met een periode van 360°.
  • havo: bij y = sin(2x) is de periode 360° ÷ 2 = 180°: binnen 360° zie je twee hele golven.
  • vwo: bij y = 1 + 3 · sin(2x) is de evenwichtsstand 1, de amplitude 3 en de periode 180°. Het hoogste punt is 1 + 3 = 4 en het laagste 1 − 3 = −2.

Sinus, cosinus en tangens in een rechthoekige driehoek reken je uit op SOS CAS TOA.

Opdrachten

Kies boven de grafiek de modus Opdrachten.

  1. Zet α tussen 0° en 90° zo dat sin(α) = 0,5.
  2. Zoek een hoek waarbij sin(α) negatief is en cos(α) positief.
  3. Maak de periode van jouw sinusoïde 180°.
  4. Maak een sinusoïde met hoogste waarde 3 en laagste waarde −1.

Veelgemaakte fouten

Fout

Sinus en cosinus verwisselen: sin α als de x-coördinaat nemen.

Goed

Op de eenheidscirkel is cos α de x-coördinaat en sin α de y-coördinaat van P.

Fout

Denken dat de periode van y = sin(bx) gelijk is aan b.

Goed

De periode is 360° ÷ b. Bij b = 2 is de periode 180°, niet 2.

Formulekaart

Printvriendelijk — gebruik Afdrukken in de browser.

  • Punt op de eenheidscirkel P=(cosα;sinα)
  • Periode periode=360°b

Wat moet ik kennen

Domeinkoppeling CE-syllabus 2027 · geen volledige examenlijst.

vmbo gt · wiskunde · WI/K/4 (4.1)

Algebraïsche verbanden, onderdeel periodieke verbanden · bron syllabus wiskunde vmbo 2027 (Examenblad)

havo · wiskunde B · subdomein B4

Functies, grafieken en vergelijkingen, onderdeel periodieke functies · bron syllabus wiskunde B havo 2027 (Examenblad)

vwo · wiskunde A · subdomein C1

Verbanden, onderdeel standaardfuncties · bron syllabus wiskunde A vwo 2027 (Examenblad)

vwo · wiskunde B · domein D

Goniometrische functies · bron syllabus wiskunde B vwo 2027 (Examenblad)

Test jezelf

Oefen sinus, cosinus en tangens met SOS CAS TOA oefenen.

Reken het uit

Sinus, cosinus en tangens berekenen met stappen

Vragen

Waarom is sin α de y-coördinaat op de eenheidscirkel?

In de rechthoekige driehoek met schuine zijde 1 is de overstaande zijde gelijk aan sin α, en die zijde staat rechtop. Daarom is sin α de hoogte van P, en cos α de afstand naar rechts.

Maakt een grotere b de golf breder?

Nee, smaller. De periode is 360° ÷ b, dus bij een grotere b past de golf vaker in 360°.